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维数的含义——兼评“36维空间”——禅院“科学”系列批判之三十一

    在拙帖系列批判之三十中,我们简单了解了空间维数的定义,并且根据我们所在的三维空间,形象直观地说明了什么是零维、一维、二维以及三维空间。给出了相似维数的基本定义,由此能够理解高于三维的空间,甚至分数维的空间。那么,空间的维数有什么含义呢?或者说,对于生活在不同维数空间的智慧生物(假定这些智慧生物存在),他所处空间的维数究竟意味着什么?我想最为鲜明的含义是:自由度,自由度的个数。维数越大,自由度个数越多。
   
    比如说吧,在零维空间(一个数学点)里,自由度为零;没有多少讨论的意义。
    在一维空间——您可以想象一根封闭细管,这个管子只能容许一个一维生物(点状或线状的)前后移动,因此它的自由度为1;
    在二维空间——您可以想象一个面(平面或者曲面),所有二维生物(点状、线状或者面状的)都被限制在这个面上,可以前后左右沿着这个面的任意方向移动,其自由度为2;


    在三维空间——也就是我们人类所熟悉的空间,对于不很大的范围,我们可以将三维空间想象成一个大箱子(当然仅仅是想像而已,实际上并不存在这么一个大箱子),三维生物在其间,不仅能前后左右地移动,也能上下移动,于是其自由度为3.
   
    从高维空间看低维空间很容易,举例说,篮球表面上有一只小蚂蚁,如果小蚂蚁被限制在这个球面上移动,对于它来说,这个球面是有限的,但同时也是没有边界的(爱因斯坦推测我们的宇宙,就类似于这样的“有限无界”的空间)。我们这种三维生物很容易观察小蚂蚁这种二维生物的活动情况,然而低维的蚂蚁却很难理解高维空间的情况。比如要是我们把这只小蚂蚁从球面上拿起——脱离了二维空间同时进入到三维空间——把它放到地面上,对于这只可怜的小蚂蚁来说,它根本不能知道是怎样实行了这样的空间转换。
   
    类似的,如果有智慧生物生活在四维空间,他看待我们如同我们看待二维生物一样。在三维空间根本不可能实现的过程,比如要求把密闭容器中的一个物体拿出来,同时不允许“打开”这个容器;但是对于四维智慧生物来说,这个密闭容器根本就没有“封闭”而是有一维——第4维——我们人类不能察觉不能进入而已。于是这个四维生物就能很容易地沿着第4维将其取出。
   
    综上所述,空间的维数表示的不是空间的个数,而是物体在其间移动的自由度。
   
    按照这个理解,就很容易看出禅院制造的“36维空间”是多么荒谬了。因为这个挂着“36维空间”的名字的东东,并不是维数含义——自由度个数的“维”,仅仅表示个数的意思。因此把它称为“36个空间”倒是合乎其本来含义的。
   
    大部分人知道,我们人类生活的空间是三维的,上下、左右和前后。因此我们可以说处在一个相当优越同时又相对可怜的参考系中,举例来说,我们很容易理解什么是一维、二维的世界;同时有很难想象高于三维的世界。
   
    设想一下一个生活在“一维”世界里的智慧生物,这个一维世界,你可以想象成为一根没有粗细的线,可以是直线,当然也可以是曲线;如果是曲线,则这曲线可以是无限延伸的、开放的,也可以是闭合的。下面我们可以推测,生活在这样的“一维世界”里的智慧生物的样子,只能是点状的或者是短线状的,它的生活空间只能非常无奈的被局限在这个线状的一维世界里,它所能够观察到的任何影像,也只能是点状物体(或者用数学语言说,是零维的物体)。因此,在一维世界,只有“前后”(你也可以说成是“左右”,或者“上下”,但是不管怎么说,却只能有一个“维度”,有了一个,就没有其他);一维世界里的智慧生物,形状被限制为点状的或线状的;一维生物观察到的任何物体影像,只是一个点。
   
    正如一根线可以放在一个面上,我们说,一维空间可以“镶嵌在”二维空间或者更高维的空间(这个结论就是拓扑学里的惠特尼定理),更一般地,任n维空间都能镶嵌在维数更高的空间之中。下面让我们俯下身子,来到在这个面上,我们就来到了“二维空间”。构成二维空间的面,可以是平面,也可以是曲面,如果是曲面,这曲面可以是无限延展的,开放的;当然也可以是闭合的——比如一个球面。
   
    设想一个生活在“二维”世界里的智慧生物,与可怜的一维生物相比,二维生物当然很容易产生极大的优越感,在它看来,一维生物生活的空间如此的不自由,只能沿着一根细线朝前或者往后地运动,永远也无法领略二维世界的丰富多彩和二维生物的自由。特别是对于生活在闭合的一维世界里的生物从一个地方到另一地方,竟然不知道有捷径可走。那么,相对于一维世界智慧生物来说,二维生物这种优越感来自哪儿?我想,最核心的是,二维生物的“自由度”比一维生物的多,它不仅能沿着前后运动,也能沿着左右运动,事实上,如果一维生物只有两个方向可供它们选择,那么,二维生物可供选择的方向就有无数多个!你可以想象能够沿着一片空地自由爬行的小虫子,当它见到一个被限制在一根儿细管儿的同类的悲惨状况的时候,所产生的巨大优越感吧,这就是二维生物对一维生物的感觉。然而,这个二维生物幸亏没学习拓扑学,虽然被限制在一个二维的“面”世界里,却依然自得其乐,因为它知道,有比它不幸无数倍的一维生物存在呢!
   
    站在我们所生活的三维世界看这位二维世界里的智慧生物,正像它观看一维生物一样的想法。我们的自由度更高,我们不仅有前后,还有左右,还有上下;我们不仅能够沿着二维世界的地面前后左右的运动,我们还能够脱离这个二维世界到达别的地方,上天入地。我们不仅知道什么是点,还知道什么是面,什么是体,我们不仅能够看到自己的四面八方,还能仰望高天,俯窥大地,与二维生物相比,我们感觉自己具有无比的优越性……
   
    举个例子说,一个二维生物可以被约束在一个圆圈之内——记得小时候做的一个很残忍的游戏,在一块水泥地板上,用樟脑丸画上一个圆圈,然后把一只小蚂蚁放进去,从上面(它不能知道不能想象的维度)看着那只可笑的蚂蚁东突西窜却不得出去,我们彷佛验证了自己的高超——高“蚁”一等;最后玩得腻了,发个善心,把那只累得头昏脑涨的小蚂蚁拿出圈子,我想,那只小蚂蚁至今一定还弄不明白,它究竟是如何出来的?
   
    如果,……如果有四维世界,如果有四维世界里生活的四维生物,那么——会有一种什么景象?或者说,一位站在四维世界的四维生物看我们这些可怜的三维生物,跟我们看二维生物,跟二维生物看一维生物,恐怕没有太大的区别吧?如果有五维世界、六维世界……以及更高维的世界和这些世界里生活的高维生物呢?
   
    把刚才那个戏弄小蚂蚁的例子推广一下:假设我被关在一个封闭的三维容器——比方是一个金属球壳吧——之中,在里面我就像刚才的那只小蚂蚁似的东突西窜,或者像孙行者在小雷音寺被一个金铙所困住一样,但是很不幸,我的努力注定是徒劳的,没有来自奇迹世界里的帮助,我是出不来的。这时有一位四维世界的智慧者,他从那第4个空间维度看着我,就像刚才我看着蚂蚁——对于蚂蚁,那个用樟脑丸画成的圆圈是封闭的,它只有两个维度,不能借助第三个维度——往上飞——出来;我呢?只有三个维度,不能借助第四个维度出来,尽管这第四个维度在这位四维智慧者看来是很自然的一维,但是我和所有的三维生物,却是难以想象的。
   
    我想,上帝可以处在任意维度的空间——我们不能用肉眼看见他,他一定看得见我们。
   

此文于2014年01月16日做了修改
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